如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

 

定理1  已知点

是离心率为

的圆锥曲线

的焦点，过点

的弦

与

的焦点所在的轴的夹角为

，且

。（1）当焦点

内分弦

时，有

；（2）当焦点

外分弦

时（此时曲线为双曲线），有

。

 

证明  设直线

是焦点

所对应的准线，点

在直线

上的射影分别为

，点

在直线

上的射影为

。由圆锥曲线的统一定义得，

，又

，所以

。

 

（1）       当焦点

内分弦

时。

如图1，

，所以

。

 

 

图1

 

（2）       当焦点

外分弦

时（此时曲线为双曲线）。

如图2，

，所以

。

 

 

图2

 

评注  特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

 

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线

的右焦点为

，过

且斜率为

的直线交

于

两点。若

，则

的离心率为（ ）

 

   

    

    

 

解  这里

，所以

，又

，代入公式得

，所以

，故选

。

 

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆

的离心率为

。过右焦点且斜率为

的直线于

相交于

两点，若

，则

（   ）

 

   

    

    

 

解  这里

，

，设直线

的倾斜角为

，代入公式得

，所以

，所以

，故选

。

 

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线

的焦点

作倾斜角为

的直线，与抛物线交于

两点（点

在

轴左侧），则有

＿＿＿＿

 

 

图3

 

解 如图3，由题意知直线

与抛物线的地称轴的夹角

，当点

在

轴左侧时，设

，又

，代入公式得

，解得

，所以

。

 

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知

是椭圆

的一个焦点，

是短轴的一个端点，线段

的延长线交

于点

，且

，则

的离心率为＿＿＿

 

解  设直线

与焦点所在的轴的夹角为

，则

，又

，代入公式得

，所以

。

 

例5（自编题）已知双曲线

的离心率为

，过左焦点

且斜率为

的直线交

的两支于

两点。若

，则

＿＿＿

 

解  这里

，

，因直线

与左右两支相交，故应选择公式

，代入公式得

，所以

所以

，所以

。

 

定理2  已知点

和直线

是离心率为

的圆锥曲线

的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为

。过点

的弦

与曲线

的焦点所在的轴的夹角为

，则有

。

 

证明  设点

在准线

上的射影分别为

，过点

作轴

的垂线交直线

于点

，交直线

于点

。由圆锥曲线的统一定义得，

，所以

。

 

 

图4

 

（1）当焦点

内分弦

时。如图4，

，

。

，

 

所以较长焦半径

，较短焦半径

。

 

所以

。

 

（2）当焦点

外分弦

时（此时曲线为双曲线）。

 

 

图5

 

如图5，

，

。

 

所以

，

 

所以较长焦半径

，较短焦半径

。

 

所以

。

 

综合（1）（2）知，较长焦半径

，较短焦半径

。焦点弦的弦长公式为

。

 

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距

就是径之半，较长焦半径

，较短焦半径

，焦点弦的弦长公式为

。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为

。

 

注  由上可得，当焦点

内分弦

时，有

。当焦点

外分弦

时，有

。

 

例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线

的焦点

作倾斜角为

的直线，交抛物线于

两点，若线段

的长为8，则

＿＿＿

 

解  由抛物线焦点弦的弦长公式为

得，

，解得

。

 

例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆

的右焦点为

，经过

且倾斜角为

的直线

与椭圆相交于不同两点

，已知

。

 

（1）求椭圆的离心率；（2）若

，求椭圆方程。

 

解  （1）这里

，

，由定理1的公式得

，解得

。

 

（2）将

，代入焦点弦的弦长公式得，

，解得

，即

，所以

①，又

，设

，代入①得

，所以

，所以

，故所求椭圆方程为

。

 

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线

的右焦点

作倾斜角为

的直线，交双曲线于

两点，则

的值为＿＿＿

 

解  易知

均在右支上，因为

，离心率

，点准距

，因倾斜角为

，所以

。由焦半径公式得，

 

。

 

例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线

的右焦点

作倾斜角为

的直线，交双曲线于

两点，则

的值为＿＿＿

 

解  因为

，离心率

，点准距

，因倾斜角为

，所以

。注意到

分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，

。

 

例10  （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆

的左、右焦点分别为

，过

的直线交椭圆于

两点，过

的直线交椭圆于

两点，且

。求四边形面积的最小值。

 

 

图6

 

解  由方程可知，

，则

。

 

设直线

与

轴的夹角为

，因为

，所以直线

与

轴

 

的夹角为

。代入弦长公式得，

 

，

。故四边形的面积为，

。

 

所以四边形面积的最小值为

。

 

参考文献：

 

①郑丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

 

②玉邴图。两道高考题的统一推广。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

 

③万尔遐。曲线  何必与方程捆绑。数学通讯。2010（6）（下半月）。